5 опуклі функції icon

5 опуклі функції




Скачати 382,96 Kb.
Назва5 опуклі функції
Сторінка3/3
Дата конвертації03.10.2012
Розмір382,96 Kb.
ТипДокументи
джерело
1   2   3
1. /Verstka/Komp_analiz/1.doc
2. /Verstka/Komp_analiz/2.doc
3. /Verstka/Pokazchik_2.doc
4. /Verstka/Ponyattya.doc
5. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_1.doc
6. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_2.doc
7. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_3.doc
8. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_4.doc
9. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_5.doc
10. /Verstka/Rozdil_1/Rozd-1_6.doc
11. /Verstka/Rozdil_1/~$_с-L-6.doc
12. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_1.doc
13. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_10.doc
14. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_11.doc
15. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_2.doc
16. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_3.doc
17. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_4.doc
18. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_5.doc
19. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_6.doc
20. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_7.doc
21. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_8.doc
22. /Verstka/Rozdil_2/Rozd_2_9.doc
23. /Verstka/Rozdil_3/Rozdil_3_1.doc
24. /Verstka/Rozdil_3/Rozdil_3_2.doc
25. /Verstka/Rozdil_3/Rozdil_3_3.doc
26. /Verstka/Rozdil_4/Rozdil_4_1.doc
27. /Verstka/Rozdil_4/Rozdil_4_2.doc
28. /Verstka/Rozdil_5/Rozdil_5_1.doc
29. /Verstka/Rozdil_5/Rozdil_5_2.doc
30. /Verstka/Rozdil_5/Rozdil_5_3.doc
31. /Verstka/Rozdil_5/Rozdil_5_4.doc
32. /Verstka/Rozdil_5/Rozdil_5_5.doc
33. /Verstka/literature.doc
34. /Verstka/titul.doc
35. /Verstka/vstup.doc
36. /Verstka/zmist.doc
Комп’ютерний аналіз
Vishka-1 kney
Предметний покаЖчик
Будова математичної теорії Ключові поняття
1 Множини 1 Поняття множини
1 11. Піднесення комплексного числа до степеня Степенем
Основні формули
1 Інтервали Означення. Інтервалом, або проміжком
Властивості
Вправи для самостійного розв’язування
2 Лінійний простір
2 Невід’ємні матриці
Міжгалузевий баланс Постановка задачі
2 Норма вектора
Теорема Для того щоб вектори
2 Матриці 2 Основні означення Означення. Матрицею
Означення. Рангом матриці
2 Визначники 3 Парні та непарні переставлення Означення
Якщо матриця а симетрична, то
Проблема власних чисел 5 Власні вектори та власні числа матриці
Обчислювальний алгоритм
3 Метод координат 1 Декартові координати на площині Означення. Віссю
3 конічні перерізи 4 Полярні координати
3 Пряма І площина у просторі
4 Послідовності
4 Неперервність функції 3 Основні поняття
Означення. Відношення приросту у функції у = f(X) до приросту незалежної змінної Х називається диференціальним відношенням
5 основні теореми про диференційовні функції
5 опуклі функції
IІ. Побудова графіків функцій симетричним відображенням відносно осей координат графіка основної функції
Мультиплікатором
Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1971. Пискунов Н. С
Київський національний економічний університет к. Г. Валєєв І. А. Джалладова Навчальний посібник
Математика сьогодні, як ніколи раніше, відіграє надзвичайно важливу роль у природничо-наукових, технічних І гуманітарних дослідженнях
Зміст вступ 3 Розділ 1
Означення. Функція f(x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х0Е така, що для всіх хЕ виконується умова



Позначатимемо:



Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).

Можна помітити, що коли , то . Також , коли . Отже, коли функція f(x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.

Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.

Знайти найбільше і найменше значення функції:

f(x) = х2, хЕ = {– 1, 0, 1, 2, 3}.

● Маємо f(x) = f(3) = 9, .

5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції
в точці (локальний екстремум)

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [а; b] і х0 — внутрішня точка проміжку: х0(a; b).

Означення. Функція f(x) в точці х0 має максимум, якщо існує окіл точки х0, що для всіх х, хх0, цього околу виконується нерівність f(x)  f(x0). Саме значення f(x0) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f(x) в точці x0 і позначатимемо maxf(x) = f(x0).

Функція f(x) в точці х0 має мінімум, якщо існує окіл точки х0, що для всіх х (хх0), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f(x)  f(x0). При цьому саме значення f(x0) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f(x) в точці х0 і позначатимемо minf(x) = f(x0).



Рис. 5.31

Далі, якщо для хх0 у даному околі точки х0 , функція f(x) має строгий максимум (строгий мінімум).

Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.

5.6.8. Необхідна умова екстремуму.
Стаціонарні і критичні точки функції

Нехай функція f(x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).

Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна f (x) перетворюється в нуль (f (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f(x) в інтервалі (a; b).

Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х0(a; b) функції f(x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f(x) в точці (х0; f(x0)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної .

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [ab] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.

Теорема 1. Для того щоб точка х0 була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю (f(x) = 0) або функція була недиференційовна в цій точці.

Доведення випливає з теореми Ферма.

Означення. Для функції f(x), неперервної на відрізку [а; b] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної f(x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [а; b], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f(x) на проміжку [а; b].

Знайти критичні точки функції

.

● Маємо f(x) = х2 – 5х + 6. Розв’язавши рівняння f (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f(x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.

5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму

Нехай функція f(x) диференційовна в деякому околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0. Будемо говорити, що похідна f (x) при переході через точку х0 змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл точки х0, що для f (x) > 0, а для f(x) < 0. Аналогічно f (x) при переході через точку х0 змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл точки х0, що для f (x) < 0, а для f(x) > 0.

Нарешті, f(x) при переході через точку х0 не змінює знака, якщо для і для f(x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).

Теорема 2. Нехай функція f(x) диференційовна в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, в якій f(x) неперервна. Тоді:

1) якщо при переході через точку х0 похідна f (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х0 функція f(x) має строгий максимум;

2) якщо при переході через точку х0 похідна f (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х0 функція f(x) має строгий мінімум;

3) якщо при переході через точку х0 похідна f (x) не змінює знака, то в точці х0 функція f(x) екстремуму не має.

Дослідити на екстремум функцію

f(x) = 2х3 – 15х2 + 36х – 20.

 Маємо

.

Із рівняння f(x) = 0 знаходимо дві стаціонарні точки: х = 2 і х = 3. При переході через точку х = 2 похідна f(x) змінює знак з плюса на мінус, отже, за теоремою 2 функція f(x) в точці х = 2 має максимум: max f(x) = f(2) = 8.

Аналогічно знайдемо, що в точці х = 3 функція f(x) має мінімум: min f(x) = f(3) = 7.

Теорема 3. Нехай функція f(x) має похідні до n-го порядку включно в околі х0, причому функція f (n)(x) неперервна в точці х0 і f(x0) = f(x0) = … = f (n–1)(x0) = 0, але f (n)(x0)  0. Тоді:

1) якщо n парне (n  2), то функція f(x) в точці x0 має строгий екстремум, причому мінімум — при f (n)(x0) > 0 і максимум — при (n)(x0) < 0;

2) якщо n непарне, то функція f(x) в точці x0 екстремуму не має.

Дослідити на екстремум функцію

f(x) = х3 – 3х2 + 3х +5. 

 Знаходимо похідну f (x) = 3х2 – 6х + 3. Рівняння f (x) = 0 має одну стаціонарну точку х = 1, тому f (1) = 0. Далі,

.

Отже, f (1) = f (1) = 0, але f (1)  0. За теоремою в стаціонарній точці х = 1 функція f(x) екстремуму не має.

Теорема 4. Нехай функція f(x) диференційовна в околі стаціонарної точки х0, а в самій стаціонарній точці має похідну другого порядку. Тоді:

1) якщо f (х0) > 0, то функція f(x) в точці х0 має мінімум;

2) якщо f (х0) < 0, то функція f(x) в точці х0 має максимум;

3) якщо f  (х0) = 0, то в точці х0 може бути екстремум, а може і не бути.

Доведення. Нехай f (х0) > 0, тоді, ураховуючи, що х0 — стаціонарна точка (f(х0) = 0), дістаємо

.

Оскільки границя виразу в точці х0 додатна, то існує окіл точки х0, що для всіх x < x0 f(x) < 0, а для x> x0 f(x) > 0 із вказаного околу. У точці х0 функція f(x) неперервна, тому за теоремою 2 в точці х0 функція має мінімум.

Аналогічно доводиться теорема про максимум функції f(x) в точці х0, якщо f (х0) < 0.

Дослідити на екстремум функцію f(x) = х6.

 Маємо f (x) = 6х5. Стаціонарна точка одна: х = 0.

1) За теоремою 2 при переході через стаціонарну точку х = 0 похідна f (x) змінює знак з мінуса на плюс. Отже, у точці х = 0 функція f(x) має строгий мінімум.

2) За теоремою 3 маємо f  (х) = 30х4, f (х) = 120х3, f (4)(x) = 360х2, (5)(x) = 720х, f (6)(x) = 720, причому f (0) = f (0) = f (0) = 0, але f (6)(0) = 720 > 0. Оскільки число 6 парне, то за теоремою 3 в точці х = 0 функція f(x) має строгий мінімум.

3) Оскільки f (0) = 0, f (0) = 0, то теорема 4 не дає відповіді про екстремум функції в стаціонарній точці х = 0.

4) Дослідження функції на екстремум можна виконати і без використання диференційовності. Оскільки |х| > 0 для х  0 і |0| = 0, то і х6 = 0 для х = 0, звідки функція f(x) = х6 у точці х = 0 має строгий мінімум.

Цей приклад показує, що при дослідженні функції f(x) на екстремум треба звернути увагу на вид самої функції, щоб обрати найбільш раціональний спосіб розв’язування конкретної задачі.

5.6.10. Найбільше і найменше
значення функції на проміжку
(абсолютний екстремум)

1. Знаходження найбільших і найменших значень функції на проміжку. Розглянемо деякі випадки знаходження найбільших і найменших значень функцій на проміжку, коли функція неперервна і диференційовна на всьому проміжку за винятком точок, де в неї немає скінченної похідної.

І. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a; b], диференційовна в інтервалі (a; b) і має скінченне число стаціонарних точок.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції f(x) на проміжку [a; b].

1. Знайти корені рівняння f (x) = 0, х(a; b), тобто стаціонарні точки (якщо вони є).

2. Обчислити значення функції f(x) на кінцях проміжку [a; b] і в усіх стаціонарних точках (не обов’язково виясняти, чи буде в них екстремум).

3. На підставі порівняння всіх знайдених значень функції ви­брати найбільше і найменше. Вони є відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції f(x) на проміжку [a; b].

Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [0,01; 100].

● У даному випадку похідна в інтервалі [0,01; 100] має тільки один корінь — х = 0,2. Обчислимо значення функції в стаціонарній точці х = 0,2 і на кінцях проміжку [0,01; 100]:

.

Звідси

.

2. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a; b], диференційовна в інтервалі (a; b) за винятком скінченного числа точок і має скінченне число стаціонарних точок.




Рис. 5.32
У цьому випадку критичними точками функції f(x) в інтервалі (ab) будуть не тільки стаціонарні точки, а й точки, в яких не існує похідної (рис. 5.32). Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції застосовується алгоритм випадку 1, лише з тією різницею, що потрібно обчислити додатково значення функції в точках, де відсутня похідна.


Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [0; 2].

 Після знаходження похідної функції і розв’язання рівняння f(x) = 0 матимемо, що критичною точкою буде тільки точка х = 1. Знаходимо значення функції f(x) на кінцях проміжку і в критичній точці:



Звідси

.

3. Функція f(x) неперервна — диференційовна в інтервалі (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок і має скінченне число стаціонарних точок.

У цьому випадку функція f(x) може не мати найбільшого або найменшого значення на проміжку [a; b]. Наприклад, функція f(x) = х2 в інтервалі (0; 1) не має ні найбільшого, ні найменшого значення; функція f(x) = sinx в інтервалі (– ; + ) має найбільше значення, що дорівнює 1, і найменше значення, що дорівнює – 1; функція f(x) = (х – 12)2 + 30 в інтервалі (– ; + ) не має найбільшого значення, але має найменше значення, що дорівнює 30; функція f(x) = 5х2 на проміжку (0; 1] не має найменшого значення, але має найбільше значення, що дорівнює 5.

Дослідження функції f(x), що задовольняє умовам 3 на проміжку [ab], на найбільше і найменше значення можна виконати так, як і у випадку 2 для проміжку [a; b], з тією лише різницею, що коли немає f(а), то його замінюють граничним значенням , а коли немає f(b), то його також замінюють граничним значенням . Потім з порівняння значень функції f(x), як у випадку 2, включаючи граничні значення А (якщо немає f(а)) і В (якщо немає f(b)), найбільшим значенням виявиться граничне, то воно і буде найбільшим значенням функції f(x) на проміжку [ab].

Якщо найбільшим значенням функції виявиться граничне, то f(x) на проміжку [a; b] не має найбільшого значення. Аналогічно досліджується питання про найменше значення f(x) на проміжку [a; b].

Знайти найбільше і найменше значення функції в інтервалі (0; 2).

 Оскільки f(1) = 0, , , то найбільшим із цих значень буде , яке є граничним, отже, функція не має найбільшого значення в інтервалі (0; 2). Найменшим значенням буде f(1) = 0, отже, f(1) = 0 є найменшим значенням функції f(x) в інтервалі (0; 2).

5.7. Загальний план дослідження
функції і побудова графіків


5.7.1. Побудова графіка функції
на основі результатів І-го рівня
дослідження функції

Зауваження. Із школи відомий спосіб побудови графіка функції «за точками». Він випливає із означення графіка функції і є громіздким та недостатньо надійним способом. Розглянемо ефективніший.

1. Побудувати графік функції .

Для побудови графіка функції дослідимо її, дотримуючись загального алгоритму:

1. Знаходимо область визначення:

, .



1   2   3



Схожі:

5 опуклі функції iconТема: Числові функції. Графік функції
Мета: Повторити й систематизувати знання та вміння будувати графік функції та перетворення графіків функції
5 опуклі функції iconТема: Похідна функції
Дайте означення похідної функції в точці. Виведіть за означенням похідних функцій формулу похідної функції 
5 опуклі функції iconФункції батьківського комітету · Виконання рішень загальної батьківської конференції
Батьківський комітет виконує І інші функції у процесі поліпшення діяльності школи. Які не суперечать чинному законодавству
5 опуклі функції iconЛабораторна робота №1 (2 сем.) Тема : Покажчики на функції; передача покажчика на функцію в якості аргументу у викликах іншої функції
Перевірити умови збігання та записати розрахункові формули для знаходження кореня рівняння з точністю ε = 10 -4
5 опуклі функції iconУроки 1-2 Тема. Зростання І спадання функції. Екстремальні точки
Тепер постає питання: для чого засто­совується похідна, у розв'язанні яких задач без неї не обійтися? Одним з найважливіших застосувань...
5 опуклі функції iconПрактична робота Дослідження ферментоутворюючої функції шлунка
По залишку негідролізованого субстрату або по кількості продуктів гідролізу визначається протеолітична активність соку. Недооцінка...
5 опуклі функції iconПрограма для побудови графіків, то можете використовувати саме її для виконання домашнього завдання
Тема: Побудова графіка функції однієї змінної. Практична робота № Побудова графіків функції
5 опуклі функції iconФункції. Область визначення та область значення функції

5 опуклі функції iconНервовий центр і його властивості
Ушкодження цієї ділянки н ц приведе до припинення або істотного порушення здійснення даної функції. Пери-ферическая частина н ц одержує...
5 опуклі функції iconРеферат на тему: "Аналізатор зору" план поняття зору, будова органу зору Гігієна зору Використана література
Він можливий завдяки функції зорового аналізатора, до складу якого входить сприймальний апарат — око. Функції зору полягають не лише...
5 опуклі функції iconРисунок 1 Графік залежності функції штрафу від швидкодії процесора
На рисунку 1 представлено графік залежності функції штрафу від швидкодії процесора для цих дисциплін
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©on2.docdat.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи