Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія icon

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія




Скачати 384.1 Kb.
НазваЛекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія
Сторінка2/3
Дата конвертації03.10.2012
Розмір384.1 Kb.
ТипЛекція
джерело
1   2   3
1. /Елементарна математика/L_01_02.doc
2. /Елементарна математика/L_03_04.doc
3. /Елементарна математика/L_04_05.doc
4. /Елементарна математика/L_06-1.doc
5. /Елементарна математика/L_06-2.doc
6. /Елементарна математика/L_07-1.doc
7. /Елементарна математика/L_07-2.doc
8. /Елементарна математика/L_08.doc
9. /Елементарна математика/L_09.doc
10. /Елементарна математика/L_10.doc
11. /Елементарна математика/L_11.doc
12. /Елементарна математика/L_12_13.doc
13. /Елементарна математика/L_14.doc
14. /Елементарна математика/L_15_16.doc
15. /Елементарна математика/L_16_1.doc
16. /Елементарна математика/L_17_18.doc
17. /Елементарна математика/L_4.12.doc
18. /Елементарна математика/Literatura.doc
19. /Елементарна математика/Matem.doc
20. /Елементарна математика/R-10-01.doc
21. /Елементарна математика/R_10.doc
22. /Елементарна математика/R_10_1.doc
23. /Елементарна математика/R_17.doc
24. /Елементарна математика/R_3.doc
25. /Елементарна математика/R_4.doc
26. /Елементарна математика/R_4_11.doc
27. /Елементарна математика/R_5.doc
28. /Елементарна математика/R_7.doc
29. /Елементарна математика/R_8.doc
30. /Елементарна математика/R_9.doc
31. /Елементарна математика/Titul.doc
32. /Елементарна математика/lekcia-16-1.doc
33. /Елементарна математика/lekcia_01-02.doc
34. /Елементарна математика/lekcia_12.doc
35. /Елементарна математика/lekcia_18.doc
36. /Елементарна математика/lishnee iz lekcii 11.doc
37. /Елементарна математика/zmist.doc
38. /Елементарна математика/ЗМ_СТ.doc
39. /Елементарна математика/КОПИЯ .DOC
40. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я 13.doc
41. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я11.doc
42. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я15-16.doc
43. /Елементарна математика/заготовки.doc
Лекція арифметика натуральні числа Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
Лекція радикали. Узагальнення поняття показника властивості ступенів І коренів
4. 12. Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння
Лекція тригонометричні вирази та їх перетворення 1
6 Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута
Лекція обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння
Приклад. Розв’язати рівняння. Основні найпростіші тригонометричні рівняння Обернені тригонометричні функції використовуються для розв’язування тригонометричних рівнянь. Розглянемо найпрості­ші способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Рівняння
Лекція показникові та логарифмічні рівняння
Лекція розв’язування нерівностей основні поняття Два математичні вирази, сполучені знаком «більше» (>), «мен­ше» ( нерів­ностями. Запис означає, що або
Лекція системи алгебраїчних рівнянь 10 Система лінійних алгебраїчних рівнянь
Лекція задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Лекція задачі з параметром
Лекція функції та їхні графіки
Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія
16 Елементи аналітичної геометрії
Лекція комплексні числа
Тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь
Література
Критерії взаємної простоти двох цілих чисел
Безліч рішень надано на рис. 10. 1
Система алгебраїчних рівнянь
4. Заміни в системі рівнянь Основний спосіб розв’язку системи рівнянь складається в використанні замін невідомих, які спрощують систему. Приклад
Комплексні числа
Тема Радикали. Узагальнення поняття показника
Тема Алгебраїчні рівняння Тема Алгебраїчні рівняння
Рішення рівнянь третього І четвертого ступеня. Параметр уводять як допоміжне невідоме, щодо якого вирішують рівняння. Знайдені значення параметра використовують для відшукання невідомого.
Тема Ірраціональні рівняння
Тема Зворотні тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння
Показові логарифмічні рівняння
Показові логарифмічні рівняння
К. Г. Валєєв І. А. Джалладова елементарна математика для студентів, слухачів по, абітурієнтів
16 аналітична геометрія
Лекція І дійсні числа
Лекція 12. Задачі з параметром лінійні рівняння з параметрами. Квадратні рівняння з параметрами. Графічне розв’язування рівнянь з параметрами
Лекція 18. Основи комбінаторики І теорії імовірностей 18 Елементи комбінаторики Групи, що складені з яких-небудь елементів, називаються з’єднуючими
Відзначимо попутно, що дроби виду
Алгебраїчні вирази та їх перетворення
Лекція арифметика
Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Лекція 13. Похідна та її застосування >13. 1
Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Element mat

Теорема Морлі. Якщо в довільному трикутнику кожний кут поділити на три рівні частини, то точки перетинану променів, що поділяють кути цього трикутника (рис. 5, а), є вер­шинами рівностороннього трикутника.

Таку саму властивість мають і точки перетину променів, що поділяють на рівні частини зовнішні кути довільного трикутника (рис. 5, б).




Рис. 5

15.6. Метричні теореми планіметрії.
Формули площі трикутника


Теорема Піфагора. Якщо трикутник прямокутний, то сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

а2 + b2 = c2,

де а = ВC, b = AC, c = АВ (рис. 1).



Рис. 1

Обернена теорема: Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, те цей трикутник прямокутний.

За допомогою теореми Піфагора доводяться наведені далі твер­дження.

1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути дорівнюють по 45°, а відношення гіпотенузи до катета дорівнює

2. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Для прямокутного трикутника (див. рис. 1):

  • синус гострого кута дорівнює відношенню катета, протилежного цьому куту, до гіпотенузи;

  • косинус гострого кута дорівнює відношенню катета, прилеглого до цього кута, до гіпотенузи;

  • тангенс гострого кута дорівнює відношенню катета, протилежного цьому куту, до катета, прилеглого до нього.

Таким чином, згідно з рис. 1 маємо:



Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними (рис. 2):

с2 = а2 + b2 – 2abcos γ.

Теорема синусів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є величина стала для даного трикутника, що дорівнює двом радіусам описаного кола (рис. 2):





Рис. 2

Задача. У трикутнику дано три сторони а, b, с. Знайти довжину медіани, проведеної до сторони а.

  • Нехай ADC = φ, AD = ma — медіана Δ АВС (рис. 3). Маємо ADB = 180° — φ. Запишемо теорему косинусів для трикутників ADC і ADB:







Рис. 3

Додавши ці рівняння почленно і врахувавши рівність cos (180° –
– φ) = –cos φ, дістанемо:



Після елементарних перетворень знайдемо




Теорема. У будь-якому трикутнику сума квадратів медіан дорівнює суми квадратів сторін трикутника.

Формули для обчислення площі трикутника (рис. 2)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

де ha — висота, опущена на сторону a; r — радіус уписаного кола; R — радіус описаного кола; р — напівпериметр. Формула (5) називається формулою Герона.


Зауваження. Якщо формула Герона дає надто громіздкий вираз, то площу можна обчислити за формулою (2), де



За допомогою метричних теорем і формул для площі трикутника можна розв’язати будь-яку задачу типу: Дано три елементи трикутника, принаймні один з яких є мірою довжини. Знайти будь-який інший елемент трикутника.


Задача. Дано три сторони трикутника: а, b, с. Знайти кут α, висоту ha, радіуси описаного (R) і вписаного (r) кіл та площу S трикутника.

  • Маємо а2 = b2 + с2 – 2bccos α, звідки

2. Згідно з формулою вираження (1) знаходимо Підставляючи сюди S із формули (5), дістаємо:



де

3. Використовуючи формулу (4), знаходимо де S обчислюється за формулою (5).

4. За формулою (3) дістаємо де S визначається за формулою (5).

Наведемо ще кілька корисних метричних співвідношень у довільному трикутнику:

;

;

;

;

відстань між центрами вписаного та описаного кіл



Площа чотирикутника



де d1 і d2 — довжини діагоналей чотирикутника; α — кут між ними.

Площа паралелограма



де γ — кут між суміжними сторонами а і b.

Площа трапеції



де а і b — основи трапеції; h — її висота.

15.7. Основні аксіоми
та найпростіші теореми стереометрії


Стереометрія вивчає властивості тіл і фігур у просторі.

Наведемо ряд аксіом і теорем, покладених в основу курсу стереометрії.

1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину (аксіома площини).

2. Якщо дві точки належать одній площині, то й пряма, що їх сполучає, належить цій площині.

3. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму — лінію перетину цих площин.

На будь-якій площині справджуються аксіоми та теореми планіметрії.


Теорема 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину й до того ж лише одну.


Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину й до того ж лише одну.

Мимобіжними називаються прямі, що не лежать в одній площині.

Ознака мимобіжності прямих. Якщо пряма a лежить у площині α, а пряма b перетинає цю площину в точці, що не лежить на прямій а, то ці прямі мимобіжні (рис. 1).




Рис. 1

Кутом між двома мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і кожна з яких паралельна одній із мимобіжних прямих.

Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й інша пряма перетинає площину.


Теорема 4. Через дві паралельні прямі можна провести площину й до того ж лише одну.

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їхнього спільного перпендикуляра.

Пряма а називається паралельною площині α, якщо вона не має з цією площиною спільних точок.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма паралельна деякій прямій а, що лежить у площині α, то вона паралельна площині α (див. рис. 1).

Паралельними називаються дві площини, що не мають спільних точок.


Теорема 5. Через точку, що не лежить у даній площині, можна провести єдину площину, паралельну даній.


Теорема 6 (ознака паралельності площин). Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні (рис. 2).




Рис. 2

Теорема 7. Якщо площина перетинає одну з двох паралель­них площин, то вона перетинає й другу, причому лінії перетину паралельні.

15.8. Перпендикулярність у просторі.
Проекція прямої. Двогранний кут


Пряма а, що лежить у площині α, поділяє цю площину на дві півплощини і називається межею півплощин.

Пряма а називається перпендикулярною до площини α, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині α.

Теорема 1 (ознака перпендикулярності прямої і площині). Пряма а перпендикулярна до площини α, якщо вона перпендикулярна до двох прямим, що перетинаються і лежать у площині а (рис. 1).




Рис. 1

Двогранним кутом називається частина простору, обмежена двома півплощинами, що мають спільну межу, яка називається ребром двогранного кута (рис. 2). Якщо пряма а1, що лежить у площині α, перпендикулярна до ребра а і пряма b1, що лежить у площині β, перпендикулярна до ребру а, то кут між прямими a1 і b1 називається лінійним кутом двогранного кута.




Рис. 2

Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, що проходить через ребро двогранного кута і поділяє його на два рівних двогранних кути (рис. 2).

Властивість точок бісекторної площини. Кожна точка бісек­торної площини рівновіддалена від граней двогранного кута. Обернене твердження: якщо точка рівновіддалена від граней двогранного кута, то вона належить його бісекторній площині.

При перетині двох площин утворюються чотири двогранних кути. Якщо лінійний кут одного з цих двогранних кутів прямий, то ці площини називаються взаємно перпендикулярними.

Теорема 2 (ознака перпендикулярності площин). Якщо пряма а, перпендикулярна до площини α, належить площині β, то площини α і β взаємно перпендикулярні (рис. 3).




Рис. 3

Перпендикулярною проекцією точки А на площину α називається основа перпендикуляра, опущеного з точки А на площину α.

Проекцією фігури на площину α називається множина точок площини α, що є проекціями всіх точок цієї фігури. Проекцією прямої на площину є також пряма (або, в частинному випадку, точка). Якщо пряма а перетинає площину α в точці А, то проекція прямої також проходить через точку А.

Якщо пряма а паралельна площині α, то її проекція буде паралельною прямій а.

Властивості, проектування

1. Якщо прямі а і b паралельні, то їхні проекції паралельні або, в окремих випадках, являють собою одну пряму або дві точки.

2. Якщо точка С поділяє відрізок АВ у відношенні m : n (рис. 4), то при проектуванні точка поділяє відрізок у тому самому відношенні, тобто




Рис. 4

Теорема 3 (про три перпендикуляри). Якщо похила l перпен­дикулярна до деякої прямої р площини α, то її проекція також перпендикулярна до прямої р (рис. 5).




Рис. 55

Обернена теорема. Якщо проекція похилої l перпендикулярна до прямої р, то ця похила також перпендикулярна до прямої р.

Нехай висота піраміди ABCD, опущена з вершини D, проходить через точку перетину висот Δ АВС (ортоцентр трикутника). Можна довести, що протилежні ребра такої піраміди попарно перпендикулярні і будь-яка інша її висота також проходить через ортоцентр протилежної грані (рис. 6).




Рис. 6

Кутом між прямою l і площиною α називається кут між прямою α і її проекцією на площину α (кут φ на рис. 5).

Можна довести, що коли всі бічні ребра піраміди ABCD нахилені до площини основи АВС під однаковими кутами, то висота DO проходить через центр O описаної біля Δ АВС кола.



Рис. 7

15.9. Многогранники. Площі поверхонь.
Об’єм многогранників


Якщо у двох паралельних площинах α і β містяться рівні між собою п-кутники, відповідні сторони яких попарно паралельні, а відповідні вершини сполучено відрізками, то утворений у такий спосіб многогранник називається призмою (рис. 8).

Многокутники, що лежать у площинах α і β, називаються основами призми. Чотирикутники АВВ1А1, ВВ1С1С та інші називаються бічними гранями призми і являють собою паралелограми; відрізки AA1, BB1 та інші називаються бічними ребрами призми. Усі бічні ребра призми рівні між собою і паралельні. Висотою призми називається відстань між площинами α і β, тобто довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки площини α на площину β.




Рис. 8

Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра її перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра.

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту приз­ми або площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра:



Прямою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площини основи.

Правильною називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

Частинними випадками призми є прямокутний паралелепіпед — пряма призма, в основі якої лежить прямокутник, і куб — правильна призма, в основі якої лежить квадрат. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин трьох ребер, що виходять з однієї вершини.

Нехай на площині α лежить опуклий многокутник А1A2A3Аn, а точка S не належить площини α. Сполучивши точку S із вершинами многокутника, дістанемо многогранник, що називається
п-кутною пірамідою (рис. 9). Многокутник А1A2A3...Аn називається основою піраміди. Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини S на площину підстави.




Рис. 9

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота проходить через центр кола, описаного навколо основи.

Об’єм довільної піраміди



де — площа основи, Н — висота.

Сфера називається описаною навколо многогранника, якщо вона проходить через усі його вершини. Сфера називається вписаною у многогранник, якщо вона дотикається до всіх його граней.


Теорема 1. Для того щоб навколо піраміди можна було описати сферу, необхідно і достатньо, щоб навколо многокутника, що лежить в її основі, можна було описати коло.


Теорема 2. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати сферу і в будь-яку правильну піраміду можна вписати сферу.

Центр сфери, описаної навколо піраміди, можна знайти за допомогою таких двох тверджень.

1. Множина точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А і В, є площина, що проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна до нього.

2. Нехай точка О — центр кола, описаного навколо плоского многокутника А1A2A3...Аn. Тоді множина точок простору, рівновіддалених від усіх вершин многокутника А1A2A3Аn, являє собою перпендикуляр до площини многокутника, що проходить через точку О.


Наслідок. Якщо навколо многокутника, який лежить в основі піраміди 1A2...Аn, можна описати коло, центром якого є точка О, то центр описаної навколо піраміди сфери міститься на перетині перпендикуляра до площини основи, поставленого з точки О, і площини, яка проходить через середину одного з бічних ребер піраміди (наприклад, A1S) і перпендикулярна до цього ребра.

Центр уписаної у многогранник сфери лежить на перетині бісекторних площин усіх двогранних кутів многогранника.


Теорема 3. У довільну трикутну піраміду можна вписати сферу.

Об’єм многогранника



де r — радіус вписаної у многогранник сфери, Sп — площа повної поверхні многогранника.

Правильним називається многогранник, усі грані якого є однаковими правильними многокутниками.

15.10 Циліндр. Конус.
Сфера, куля та її частини


Циліндричною поверхнею називається поверхня (рис. 1), утворена рухом прямої АВ, паралельної заданому напряму l, яка перетинає дану плоску криву MN і називається напрямною цилін­дра. Пряма АВ називається твірною циліндра.

Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею, що має замкнуту твірну, і двома паралельними площинами. Частини паралельних площин, що обмежують циліндр, називаються основами циліндра. Висотою циліндра називається відстань h = PQ між паралельними площинами (рис. 1).




Рис. 1

Прямим циліндром називається циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Циліндр називається круговим, якщо його напрямною є коло. Прямий круговий циліндр є фігурою обертання, оскільки його можна утворити обертанням прямокутника нав­коло однієї з його сторін. Пряма, що сполучає центри основ прямого кругового циліндра, називається віссю циліндра. Вона є його віссю симетрії. Площиною осьового перерізу називається площина, що містить вісь циліндра. Осьовий переріз прямого кругового циліндра являє собою прямокутник.

Площа бічної поверхні кругового циліндра радіуса r дорівнює добутку довжини кола, що лежить у його основі, на висоту цилін­дра:

S = 2πrh.

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту циліндра:

V = 2πr2h.

Конічною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої АВ, що проходить увесь час через ту саму точку S (вершину конуса) і перетинає дану плоску криву, що називається напрямною конуса (рис. 2, а). Твірною конуса називається будь-яка пряма, що відповідає деякому положенню прямої АВ. Конічна поверхня має дві частини: одна описується променем SA, а інша — його продовженням SB.

Конусом називається тіло, обмежене однією частиною коніч­ної поверхні, що має замкнену твірну, та площиною. Частина цієї площини, що лежить усередині конічної поверхні, називається основою конуса. Перпендикуляр SO, опущений з вершини S на площину основи, називається висотою конуса. Конус називається круговим, якщо в його основі лежить коло. Прямим круговим конусом називається круговий конус, висота h якого проходить через центр кола (точку О), що лежить в основі (рис. 2, б).




Рис. 2

Прямий круговий конус — це фігура обертання, оскільки його можна утворити обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Висота SO прямого кругового конуса називається також віссю конуса, вона є його віссю симетрії. Осьовим перерізом прямого кругового конуса є рівнобедрений трикутник, утворений при перетині поверхні конуса площиною, що містить його вісь. Кутом при вершині конуса називається кут при вершині його осьового перерізу.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса дорівнює половині добутку довжини кола основи на твірну конуса:



де r — радіус основи конуса; l — його твірна (рис. 2, б).

Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи на висоту:



Сферичною поверхнею, або сферою, називається геометричне місце точок простору, віддалених на однакову відстань R від однієї точки, яку називають центром сфери. Тіло, обмежене сферичною поверхнею, називається кулею. Сфера є поверхню обертання. Вона утворюється при обертанні кола навколо будь-якого його діаметра. Великим колом називається лінія перетину кулі площиною, що містить центр кулі.

Площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі великого круга:



Об’єм кулі



Куля називається вписаною в циліндр, якщо вона дотикається до його бічної поверхні та до площини основи. Кулю можна вписати в прямий круговий циліндр так, щоб вона мала спільну точку з будь-якого його твірною, тільки тоді, коли осьовим перерізом циліндра є квадрат. Куля називається вписаною в конус, якщо вона дотикається до бічної поверхні конуса та до площини його основи. У будь-який прямий круговий конус можна вписати кулю так, щоб вона мала спільну точку з усіма його твірними. Центр цієї кулі лежить на осі конуса.

Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї будь-яка площина α. Основою кульового сегмента називається коло, утворюване в результаті перетину кулі площиною α. Висотою h кульового сегмента називається довжина відрізка МО1, перпендикулярного до площини α (рис. 3).



Рис. 3

Площа поверхні кульового сегмента дорівнює добутку його висоти на довжину великого кола:

S = 2πRh,

де R — радіус кулі.

Об’єм кульового сегмента



Частина кулі, що відтинається від неї двома паралельними площинами, називається кульовим шаром. Кульовим поясом, або зоною, називається поверхня кульового шару. Відстань між паралельними площинами, що називаються основами шару, має назву висоти кульового шару (рис. 4).




Рис. 4

Площа поверхні кульового шару дорівнює добутку його висоти h = О1О2 на довжину великого кола:

S = 2πRh.

Об’єм кульового шару обчислюють за формулою:



де r1 і r2 — радіуси основ кульового шару; h — його висота.

Кульовим сектором називається частина кулі, обмежена поверхнею кульового сегмента і конічною поверхнею, напрямною якої є коло основи сегмента, а вершиною — центр кулі (див. рис. 3).

Об’єм кульового сектора



де R — радіус кулі; h — висота відповідного кульового сегмента.

ЛЕКЦІЯ




ОСНОВИ
ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ


1   2   3



Схожі:

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТематичне планування уроків геометрії (10 клас-академічний рівень)
Логічна будова шкільного курсу геометрії. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: лінзи
Мета: узагальнити знання учнів про лінзи та їхні фізичні властивості; сформувати їхні практичні уміння щодо застосування знань про...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconКонспект заняття з математики в старшій групі з теми: „трикутники. Чотирикутники" Підготувала: В. І. Бєлявська, вихователь. Тема: "трикутники. Чотирикутники"
Мета: формувати уявлення про трикутники, чотирикутники. Учити порівнювати геометричні фігури за істотними ознаками

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconПитання до екзамену з алгебри та геометрії груп пз та пі
Поняття векторного простору. Найпростіші властивості. Базис, вимірність, координати виміру в заданому базисі. Вимірність арифметичного...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема. Закономірності спадковості. Закони Г. Менделя, їх статистичний характер і цитологічні основи
Мета. Розширити знання учнів про генетичні поняття, сформувати поняття про основні генетичні закономірності: моно- та дигібридне...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconЛекція №1. Біосистеми мішені дії токсикантів (частинаІ)
Фундаментальні властивості біосистем. Ступені свободи токсичної дії. Властивості токсиканта, що визначають його токсичність

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconУрок геометрії у 8-му класі по темі «Теорема Піфагора»
Мета уроку : Сформулювати та довести основну теорему планіметрії – теорему Піфагора, формувати уміння учнів застосовувати вивчену...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©on2.docdat.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи