Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія icon

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія




Скачати 384,1 Kb.
НазваЛекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія
Сторінка3/3
Дата конвертації03.10.2012
Розмір384,1 Kb.
ТипЛекція
джерело
1   2   3
1. /Елементарна математика/L_01_02.doc
2. /Елементарна математика/L_03_04.doc
3. /Елементарна математика/L_04_05.doc
4. /Елементарна математика/L_06-1.doc
5. /Елементарна математика/L_06-2.doc
6. /Елементарна математика/L_07-1.doc
7. /Елементарна математика/L_07-2.doc
8. /Елементарна математика/L_08.doc
9. /Елементарна математика/L_09.doc
10. /Елементарна математика/L_10.doc
11. /Елементарна математика/L_11.doc
12. /Елементарна математика/L_12_13.doc
13. /Елементарна математика/L_14.doc
14. /Елементарна математика/L_15_16.doc
15. /Елементарна математика/L_16_1.doc
16. /Елементарна математика/L_17_18.doc
17. /Елементарна математика/L_4.12.doc
18. /Елементарна математика/Literatura.doc
19. /Елементарна математика/Matem.doc
20. /Елементарна математика/R-10-01.doc
21. /Елементарна математика/R_10.doc
22. /Елементарна математика/R_10_1.doc
23. /Елементарна математика/R_17.doc
24. /Елементарна математика/R_3.doc
25. /Елементарна математика/R_4.doc
26. /Елементарна математика/R_4_11.doc
27. /Елементарна математика/R_5.doc
28. /Елементарна математика/R_7.doc
29. /Елементарна математика/R_8.doc
30. /Елементарна математика/R_9.doc
31. /Елементарна математика/Titul.doc
32. /Елементарна математика/lekcia-16-1.doc
33. /Елементарна математика/lekcia_01-02.doc
34. /Елементарна математика/lekcia_12.doc
35. /Елементарна математика/lekcia_18.doc
36. /Елементарна математика/lishnee iz lekcii 11.doc
37. /Елементарна математика/zmist.doc
38. /Елементарна математика/ЗМ_СТ.doc
39. /Елементарна математика/КОПИЯ .DOC
40. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я 13.doc
41. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я11.doc
42. /Елементарна математика/ЛЕКЦ_Я15-16.doc
43. /Елементарна математика/заготовки.doc
Лекція арифметика натуральні числа Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
Лекція радикали. Узагальнення поняття показника властивості ступенів І коренів
4. 12. Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння
Лекція тригонометричні вирази та їх перетворення 1
6 Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута
Лекція обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння
Приклад. Розв’язати рівняння. Основні найпростіші тригонометричні рівняння Обернені тригонометричні функції використовуються для розв’язування тригонометричних рівнянь. Розглянемо найпрості­ші способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Рівняння
Лекція показникові та логарифмічні рівняння
Лекція розв’язування нерівностей основні поняття Два математичні вирази, сполучені знаком «більше» (>), «мен­ше» ( нерів­ностями. Запис означає, що або
Лекція системи алгебраїчних рівнянь 10 Система лінійних алгебраїчних рівнянь
Лекція задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Лекція задачі з параметром
Лекція функції та їхні графіки
Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія
16 Елементи аналітичної геометрії
Лекція комплексні числа
Тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь
Література
Критерії взаємної простоти двох цілих чисел
Безліч рішень надано на рис. 10. 1
Система алгебраїчних рівнянь
4. Заміни в системі рівнянь Основний спосіб розв’язку системи рівнянь складається в використанні замін невідомих, які спрощують систему. Приклад
Комплексні числа
Тема Радикали. Узагальнення поняття показника
Тема Алгебраїчні рівняння Тема Алгебраїчні рівняння
Рішення рівнянь третього І четвертого ступеня. Параметр уводять як допоміжне невідоме, щодо якого вирішують рівняння. Знайдені значення параметра використовують для відшукання невідомого.
Тема Ірраціональні рівняння
Тема Зворотні тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння
Показові логарифмічні рівняння
Показові логарифмічні рівняння
К. Г. Валєєв І. А. Джалладова елементарна математика для студентів, слухачів по, абітурієнтів
16 аналітична геометрія
Лекція І дійсні числа
Лекція 12. Задачі з параметром лінійні рівняння з параметрами. Квадратні рівняння з параметрами. Графічне розв’язування рівнянь з параметрами
Лекція 18. Основи комбінаторики І теорії імовірностей 18 Елементи комбінаторики Групи, що складені з яких-небудь елементів, називаються з’єднуючими
Відзначимо попутно, що дроби виду
Алгебраїчні вирази та їх перетворення
Лекція арифметика
Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Лекція 13. Похідна та її застосування >13. 1
Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
Element mat

16.1. Означення та основні
властивості векторів


Відрізок, на якому задано напрям, тобто зазначено початок і кінець, називається вектором. Вектори позначаються , або , і т. ін. (рис. 1). Модуль вектора — довжина відрізка АВ; — позначення. Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то такий вектор називається нульовим.

Вектори, що належать паралельним прямим або одній і тій самій прямій, називаються колінеарними (наприклад, вектори , , на рис. 1).




Рис. 1

Два вектори називаються однаково напрямленими, якщо вони колінеарні і їхні кінці містяться в одній півплощині відносно прямої, що сполучає їхні початки (вектори , , на рис. 1).

Два вектори називаються рівними, якщо вони однаково напрямлені і їхні модулі рівні.

Колінеарні вектори і , зображені на рис. 1, називаються протилежно напрямленими.

Множення вектора на число. Вектором називається вектор, колінеарний вектору і однаково з ним напрямлений, якщо k > 0, та протилежно напрямлений, якщо k < 0, і такий, що

.

На рис. 1 зображено вектори і .


Теорема 1. Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує таке число k, що


Теорема 2. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, що дорівнює даному.

Сумою двох векторів і називається вектор (правило трикутника; рис. 2). Вектори можна також додавати за правилом паралелограма: сумою векторів і є вектор —діагональ паралелограма ABCD.




Рис. 2

Зауваження. Оскільки від будь-якої точки площини можна відкласти вектор, що дорівнює даному, то для того, щоб додати два довільно розміщені вектори, достатньо від кінця одного з них відкласти вектор, що дорівнює другому, і скористатися правилом трикутника.

Вектор- називається протилежним вектору . Різницею векторів і називається сума вектора і вектора, протилежного вектору , тобто (див. рис. 2).


Теорема 3 (про єдиність розкладу вектора на площині). Нехай на площині дано два неколінеарних вектори і . Тоді будь-який третій вектор у цій площині можна в єдиний спосіб подати у вигляді суми:



де х і у — числа, що називаються коефіцієнтами розкладу вектора за векторами і .


Лема. Якщо в Δ АВС точка D лежить на стороні АС і то


Задача. Нехай у Δ АВС точка N лежить на стороні ВС, а точка М — на стороні АВ, причому BN : ВР =1 : 5; AM : АВ = 1 : 5. Прямі AN і CM перетинаються в точці О. Знайти відношення СО : МС і АО : AN (рис. 3).



Рис. 3

  • Введемо вектори тоді (за лемою). Позначимо Тоді з Δ ACN за лемою дістанемо: . Оскільки век­тори і колінеарні, то де Тому .

Беручи до уваги єдиність розкладу вектора за неколінеарними векторами і , маємо систему рівнянь:



Розв’язавши її, дістанемо відповідь:

16.2. Скалярний добуток векторів,
його властивості


Кутом між векторами називається кут між променями, на яких лежать ці вектори.

Скалярним добутком векторів і (позначають або ) називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

(α — кут між векторами і ).


Зауваження. Якщо вектори і взаємно перпендикулярні, то .

Виконуються такі властивості скалярного добутку:

l) ;

2) ;

3) .

З означення скалярного добутку випливає:



Векторний метод ефективно використовується при розв’язуванні геометричних задач.


Задача. У прямокутному трикутнику АВС AD — бісектриса ВМ — медіана трикутника (рис. 4). Знайти кут між AD і ВМ, якщо АВ = 3, ВР = 4.




Рис. 4

  • За теоремою Піфагора дістаємо Згідно з теоремою теоремі про бісектрису внутрішнього кута звідки . Позначимо , Тоді , , . Оскільки , то , ; .

Знайдемо довжину вектора : .

Враховуючи, те, що медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, дістаємо

Обчислюємо скалярний добуток:



Отже,




Задача. Знайти кут між діагоналлю АС1 і ребром AA1 паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 5), коли відомо, що AA1 = AD = 2, АВ = 1, .



Рис. 5

  • Введемо три вектори: , ,

При цьому маємо:

Вектор подається через вектори , і дуже просто:



Тому

.

16.3. Координати вектора

Якщо на площині задано два взаємно перпендикулярні (базис­ні) вектори і , такі що то будь-який вектор площини можна в єдиний спосіб подати у вигляді:

.

Величини ха і уа називаються координатами вектора . Позначають: .

Аналогічно, якщо у просторі задано три взаємно перпендикулярні вектори , і , то будь-який вектор простору можна в єдиний спосіб подати у вигляді



де xa, ya, za — координати вектора . Позначення: .

Властивості координат вектора

1. Рівні вектори мають рівні координати, тобто якщо , то xa = xb, ya = yb, za = zb.

2. При множенні вектора на число його координати множать на те саме число, тобто якщо то xa = λxb, ya = λyb, za = λzb.

3. При додаванні векторів їхні координати додають, тобто якщо то xc = xa + xb, yc = ya + yb, zc = za + zb.

4. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів:

. (1)

5. Модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квад­ратів його координат:

(2)

Якщо у просторі дві точки А(х0, y0, z0) задано їхніми координатами і В(х1, y1, z1), то вектор має координати, що дорівнюють різниці відповідних координат початку і кінця вектора, тобто


Задача. Знайти координати точки D і кут між діагоналями паралелограма ABCD, якщо А(0, 1, – 2), В(– 1, 0, 3), С(2, 3, – 1).

  • Нехай точка D має координати (х, у, z). Знайдемо координати векторів і :



Оскільки ABCD — паралелограм, то Звідси випливає, що х = 3, у – 1 = 3, z + 2 = – 4, тобто х = 3, у = 4, z = – 6. Знайдемо тепер координати діагоналей:



Використовуючи формулу (2) для довжини вектора і формулу (1) для скалярного добутку векторів через його координати, ді-
стаємо:



16.4. Векторний добуток

Векторним добутком двох векторів і називається вектор що задовольняє такі умови:

1)

2) , α — кут між і ;

3) трійка , і має праву орієнтацію, тобто з кінця вектора поворот від вектора до вектора на найменший кут бачимо проти годинникової стрілки (рис. 1).




Рис. 1

Властивості векторного добутку

1. Антикомінативність:



2. Дистрибутивність:



3. Асоціативність множення на скаляр:



4. Умова колінеарності двох векторів:



Геометричний зміст векторного добутку

Площа паралелограма, побудованого на векторах і , дорів­нює модулю їхнього векторного добутку (рис. 2):






Рис. 2

Площа трикутника, побудованого на векторах і , дорівнює половині модуля їхнього векторного добутку (рис. 3):





Рис. 3

Векторний добуток у координатах

Якщо вектори і задано їхніми координатами і , то векторний добуток цих векторів має коорди-
нати:



Замість наведеної громіздкої формули зручніше використовувати запис векторного добутку через визначник:



Тут — одиничні вектори прямокутної системи координат. Якщо розкрити визначник за першим рядком, то коефіцієнти при векторах дадуть відповідні координати вектора


Задача. Знайти площу трикутника з вершинами в точках А(2, –4, 1), В(–2, 1, 3), C(l, –1, 2).

  • Насамперед введемо вектори, що збігаються з двома сторонами трикутника АВС:

,

або






Елементарна математика
1   2   3



Схожі:

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТематичне планування уроків геометрії (10 клас-академічний рівень)
Логічна будова шкільного курсу геометрії. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: лінзи
Мета: узагальнити знання учнів про лінзи та їхні фізичні властивості; сформувати їхні практичні уміння щодо застосування знань про...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconКонспект заняття з математики в старшій групі з теми: „трикутники. Чотирикутники" Підготувала: В. І. Бєлявська, вихователь. Тема: "трикутники. Чотирикутники"
Мета: формувати уявлення про трикутники, чотирикутники. Учити порівнювати геометричні фігури за істотними ознаками

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconПитання до екзамену з алгебри та геометрії груп пз та пі
Поняття векторного простору. Найпростіші властивості. Базис, вимірність, координати виміру в заданому базисі. Вимірність арифметичного...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема: Степені з раціональними показниками, їхні властивості
Мета: Сформувати вміння застосовувати властивості степеня з раціональним показником

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconТема. Закономірності спадковості. Закони Г. Менделя, їх статистичний характер і цитологічні основи
Мета. Розширити знання учнів про генетичні поняття, сформувати поняття про основні генетичні закономірності: моно- та дигібридне...

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconЛекція №1. Біосистеми мішені дії токсикантів (частинаІ)
Фундаментальні властивості біосистем. Ступені свободи токсичної дії. Властивості токсиканта, що визначають його токсичність

Лекція основи геометрїї 15 Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості Планіметрія iconУрок геометрії у 8-му класі по темі «Теорема Піфагора»
Мета уроку : Сформулювати та довести основну теорему планіметрії – теорему Піфагора, формувати уміння учнів застосовувати вивчену...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©on2.docdat.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи